somma e differenza tra vettori

Su richiesta di un vostro compagno riassumo il procedimento per sommare (o sottrarre) vettori tramite le componenti cartesiane.

Premessa: la somma tra vettori è banale (intuitiva) solo nel caso che i vettori abbiano la stessa direzione. Quando sommiamo vettori con direzioni diverse dobbiamo trovare il modo di ricondurci a questa felice condizione. Dato che un vettore è sempre scomponibile in due componenti perpendicolari (cioè lo possiamo sempre pensare come l'ipotenusa di un triangolo rettangolo), sfruttiamo questa possibilità scegliendo un opportuno sistema di riferimento cartesiano, oppure adeguandoci a quello che ci viene fornito dall'esercizio.

Per sommare due vettori F1 ed F2, che formano due angoli diversi con un asse delle ascisse si procede così:

1) Calcoliamo la componente "x" dei due vettori: 

F1x = F1 cos(angolo1)

F2x = F2 cos(angolo2)

La somma di questi due vettori, che hanno la stessa direzione (eventualmente verso opposto), fornisce la componente x del vettore somma

Rx = F1x + F2x

2) Calcoliamo la componente "y" dei due vettori:

 

F1y = F1 sin(angolo1)

F2y = F2 sin(angolo2)

La somma di questi due vettori, che hanno la stessa direzione (eventualmente verso opposto), fornisce la componente y del vettore somma

Ry = F1y + F2y

3) Ora siamo in possesso delle componenti cartesiane del vettore somma. Per trovare il suo modulo ci basta applicare il teorema di Pitagora:

R^2 = Rx^2 + Ry^2

per trovare il modulo di R basta ovviamente fare la radice quadrata (ma qui non ho i simboli adatti e quindi uso i quadrati ;)  )

4) Manca la direzione che questo vettore somma forma con l'asse delle ascisse.

Se è stato possibile disegnare i vettori nel piano cartesiano, un'indicazione della direzione è data dal disegno, usando la regola del parallelogramma. Ma tale indicazione non ci permette di calcolare l'angolo esatto, che invece si ottiene da

angolo = tg^(-1) (Ry/Rx)

Utilizzando la calcolatrice per il calcolo.

Nel caso in cui ci venga dato solo l'angolo tra i due vettori, basta scegliere un riferimento cartesiano in cui uno dei vettori si trovi lungo la direzione positiva dell'asse delle ascisse. In questo modo il calcolo si semplifica, perché uno dei due vettori avrà solo la componente x (tutto il vettore!), e la componente y nulla.

Se viene chiesta la differenza tra due vettori, basta sommare al primo il vettore opposto al secondo, ovvero il vettore avente stesso modulo, stessa direzione ma verso opposto a quello di partenza.